Enseigner les mathématiques… ou les apprendre

Voici déjà plusieurs années, à l'occasion d'une évaluation périodique de son programme d'enseignement de premier cycle (les « candidatures »), la faculté des sciences appliquées de l'UCL s'interrogea sur l'efficacité de celui-ci. Les enseignants et les étudiants étaient-ils heureux, voire simplement satisfaits, du programme et des dispositifs pédagogiques mis en place ? Les résultats objectifs étaient-ils satisfaisants ? Les futurs employeurs appréciaient-ils notre formation ?

Les réponses recueillies lors de nombreuses réunions d'échanges et de discussions furent loin de refléter une satisfaction manifeste : de nombreux enseignants du premier cycle déploraient une grande passivité et une faible motivation des étudiants, peu enclins à s'investir de manière active dans leurs études sauf au moment des examens ; l'absentéisme important des étudiants, lors des cours et des séances d'exercices était perçu comme une indication de leur désintérêt pour les matières et le dispositif pédagogique proposés ; le taux d'échec restait important, malgré la sélection à l'entrée opérée par l'examen d'admission et malgré les efforts de suivi méthodologique des étudiants en difficulté ; les enseignants actifs au premier et au deuxième cycle ne pouvaient que déplorer le faible taux de rétention des apprentissages réalisés durant les premières années.

Par ailleurs, de nombreux collègues enseignant en deuxième cycle demandaient que de plus en plus de matière « préalable » à leurs enseignements soit enseignée dans le premier cycle, afin que les enseignements de deuxième cycle puissent suivre l'explosion des connaissances. Toujours plus pour nos premières années alors que les bases elles-mêmes étaient si mal assimilées !

Quant à l'évaluation du monde de l'entreprise, elle mit en évidence qu'un certain nombre d'attentes de formation n'étaient pas rencontrées, notamment la capacité à travailler en groupe, à gérer un projet dans la durée, à communiquer efficacement selon différents modes et pour des publics différents,… De quoi encore surcharger l'horaire des étudiants, si ces attentes devaient être comblées.

Dès lors, une réforme profonde s'imposa petit à petit comme une évidence. Il fallait recréer les conditions de motivation des étudiants et des enseignants, s'assurer que les bases essentielles soient effectivement maîtrisées durablement, aborder dès le début des études la pratique du travail en groupe et de la gestion de projet et, pour répondre au problème de l'explosion des connaissances, transformer l'étudiant en un apprenant actif, prêt à acquérir par lui-même les connaissances nécessaires à la suite de sa formation. Apprendre à apprendre plutôt qu'apprendre tout court, développer des compétences plutôt qu'acquérir simplement des connaissances, aider l'étudiant à gérer sa formation avec ses pairs sont devenues progressivement les lignes de force d'un nouveau programme de candidatures encore à définir de manière plus précise.

C'est ainsi qu'un petit groupe d'enseignants de la faculté découvrit que la pédagogie ne s'arrêtait pas aux portes de l'université et qu'il n'était pas inutile de chercher à savoir si d'autres universités, après avoir suivi un cheminement semblable, avaient à proposer d'autres dispositifs pédagogiques que celui qui était encore le modèle traditionnel de l'UCL (et de nombreuses institutions universitaires dans le monde francophone) : des cours « ex cathedra » dans lesquels un professeur expose un savoir construit, suivis de « répétitions » (ou séances d'exercices) encadrées par des assistants pour de plus petits groupes d'étudiants, pendant lesquelles les assistants montrent comment faire « en pratique » et réduisent trop souvent ce qui a été vu à un ensemble de recettes.

Notre intérêt se focalisa rapidement sur l'apprentissage par problèmes (Problem Based Learning) et sur des expériences pédagogiques en faculté de médecine [10] ou en faculté de sciences appliquées [7]. Dans ces universités, l'étudiant était bien le centre des apprentissages, ceux-ci s'effectuaient en partie entre pairs (apprentissage actif en groupe) et les ingénieurs que nous sommes découvrirent même que cette façon d'envisager l'apprentissage avait un nom, le socioconstructivisme, [3,6] et faisait l'objet d'études sérieuses de la part de pédagogues de renom. Bien sûr, il n'était pas question de reproduire purement et simplement un de ces systèmes, mais plutôt de s'en inspirer pour développer notre propre dispositif pédagogique, en tenant compte des moyens disponibles et des différentes contraintes de notre institution. C'est ainsi qu'est né CANDIS2000.

Trois ans de réflexions intenses sur notre enseignement et quelques expériences réussies dont nous parlerons plus loin nous ont conduits à définir notre modèle pédagogique propre : l'apprentissage actif en groupe, par problèmes et par projets. Ce modèle s'inspire largement du paradigme socioconstructiviste de l'apprentissage. Sans vouloir ici développer longuement ce paradigme (voir [6]), reprenons brièvement ce qu'en dit Bruner [3] : « Learning is an active process in which learners construct new ideas or concepts based upon their current/past knowledge. The learner selects and transforms information, constructs hypotheses, and makes decisions, relying on a cognitive structure to do so. ». Ceci est bien sûr le point de vue de l'apprenant. Du point de vue de l'enseignant, la tâche est bien sûr différente : « The instructor should try and encourage students to discover principles by themselves. The instructor and student should engage in an active dialog (i.e., socratic learning). The task of the instructor is to translate information to be learned into a format appropriate to the learner's current state of understanding. »

L'apprentissage actif est donc, pour nous, l'abandon de l'idée de transmission directe du savoir. Nous préférons mettre les étudiants dans des situations où ils doivent construire ou s'approprier des savoirs nouveaux à partir de leurs connaissances et des problèmes et défis qu'ils ont à résoudre. Ce paradigme met aussi l'accent sur la capacité d'apprendre à apprendre, plutôt que d'assimiler des savoirs, ce qui est notre réponse face au problème évoqué plus haut de l'explosion des connaissances.

Mais cet apprentissage, l'étudiant ne le fait pas seul ! L'étudiant en est individuellement responsable, mais l'apprentissage se construit à travers des interactions sociales, avec les pairs et avec l'enseignant. Ce faisant, on atteint également d'autres objectifs : d'une part, c'est dans l'interaction avec ses pairs (et accessoirement avec l'enseignant) que l'étudiant peut acquérir une compréhension profonde des apprentissages réalisés. En outre, l'interaction dans le groupe et la gestion de celui-ci permettent de développer les capacités de travail en groupe et de communication.

Enfin, les problèmes et les projets sont pour l'étudiant autant de prétextes mais aussi de défis à résoudre, apportant une motivation qui faisait souvent défaut par le passé et permettant d'organiser les apprentissages non pas de manière déductive mais bien inductive, en fonction des obstacles rencontrés. Dans notre modèle, les problèmes sont essentiellement disciplinaires, de durée limitée (environ une semaine) et répondant à des objectifs d'apprentissage bien ciblés. Quant aux projets qui se succèdent à raison d'un par trimestre, ils sont par nature interdisciplinaires, beaucoup plus ouverts, et sont également l'occasion d'apprendre à gérer un travail à long terme en se fixant des objectifs intermédiaires qui ne sont pas nécessairement explicités dès le départ par les concepteurs du projet, puis d'apprendre à communiquer et à présenter, devant un jury, les travaux et apprentissages réalisés.

Revenons au « prétexte » évoqué plus haut. Une des difficultés de ce parti pédagogique est effectivement de faire comprendre aux étudiants que c'est l'apprentissage (par le problème) qui est important, et non la solution du problème. Cette difficulté n'est pas surmontée en un jour. Il faut du temps avant de transformer un étudiant formé pour trouver des réponses aux questions qu'on lui pose en un apprenant actif, orienté vers l'acquisition de nouveaux savoirs et de nouvelles compétences.

On le voit, le dispositif envisagé présentait, dès le départ, une grande cohérence et pourtant plusieurs d'entre nous se sont interrogés : ne fallait-il pas exclure les mathématiques de ce dispositif (à l'instar de ce qui se fait dans d'autres institutions ayant adopté une pédagogie similaire pour tout … sauf pour les mathématiques) ? Pourquoi cette exclusion ? Est-ce parce que les mathématiques sont trop éloignées du réel ? Est-ce plutôt parce que les théories mathématiques enseignées traditionnellement de manière axiomatique et déductive perdraient tellement à se voir exposées autrement ? Peut-on atteindre la rigueur d'un raisonnement mathématique hors de ce cadre axiomatico-déductif ?

Ces questions soulevaient un défi important et quelques-uns d'entre nous ont tenu à le relever. Anticipant la mise en place de la réforme, nous avons voulu expérimenter l'apprentissage par problèmes en mathématique, d'abord avec un petit groupe d'étudiants - le reste de la cohorte, exposée à un enseignement traditionnel, devant permettre de comparer les résultats obtenus en termes d'apprentissages réalisés -, puis, l'année suivante, avec l'ensemble des étudiants de première année [12,13]. Curieusement, si l'enseignement des mathématiques à partir de situations-problèmes est bien décrit pour les niveaux d'enseignement primaire et secondaire [5], nous n'avions pas connaissance de descriptions analogues pour l'enseignement supérieur. Et nous avons donc du forger notre propre pratique.

C'est ainsi qu'a débuté notre pratique de l'apprentissage actif par problèmes et en groupe. Plutôt que de se voir proposer un enseignement “ magistral ” où l'enseignant dévoile au fil des cours une matière bien construite, accompagné de séances d'exercices durant lesquelles les étudiants appliquent les théories que l'on vient de leur enseigner, une cinquantaine d'étudiants du cours, choisis “ au hasard ”, ont reconstruit la matière suivant un tout autre dispositif.

Ces étudiants ont été répartis en petits groupes de six à huit et l'équipe enseignante leur a proposé chaque semaine un problème relativement ouvert en guise de point de départ et de « fil rouge » des apprentissages. Au sein du groupe, encadré par un enseignant-tuteur, les étudiants déterminaient quels étaient les enjeux mathématiques soulevés par le problème, identifiaient les notions mathématiques nouvelles à acquérir, repéraient les supports (syllabus, livres de référence) où ces notions sont présentées. Face à un problème pour lequel ils n'avaient pas de réponse a priori, les étudiants étaient amenés à discuter le problème, à rechercher l'information utile, à confronter leurs avis pour le comprendre et tenter de le résoudre. Suivait une phase de travail personnel permettant à chaque étudiant de s'approprier ces nouvelles notions, puis une nouvelle période de travail en groupe, sans tuteur, où des pistes de solution au problème posé, générées par chacun, étaient rediscutées afin de vérifier la pertinence, les limites et lacunes des avancées réalisées depuis la première lecture du problème. Le groupe rédigeait alors un rapport soumis au tuteur présentant la résolution du problème et les concepts nouveaux étudiés à travers celui-ci. La semaine suivante, avant de passer à un nouveau problème, le rapport était présenté par les étudiants et commenté par le tuteur. Enfin, des séances de restructuration, proposées par les enseignants du cours pour l'ensemble des cinquante étudiants, permettaient une intégration des différents acquis et un approfondissement des liens entre les notions nouvellement apprises.

Nous reviendrons plus loin en détail sur le bilan de cette expérience. A ce stade, mentionnons simplement qu'une fois surmontée l'incertitude liée à ce nouveau dispositif, tant les étudiants que les tuteurs se sont investis sans compter dans ces nouvelles conditions d'apprentissage, témoignant d'un enthousiasme qui contrastait singulièrement avec l'apparente (?) nonchalance des étudiants dans les autres matières de leur programme.

Toutefois, parmi les défis les plus importants que les enseignants ont rencontré lors de cette expérience, on doit sans nul doute citer la conception d'une grosse dizaine de problèmes. Nous n'y étions pas formés et ce n'est que peu à peu que nous avons pu apporter une réponse à la question suivante.

Selon M. Fabre, J. -P. Astolfi, et d'autres [2, 5], on distingue cinq caractéristiques principales à un problème. Il doit être d'une relative complexité, mettre en jeu plusieurs compétences, être tel que la solution n'est pas immédiatement disponible, exiger de la part de l'étudiant mobilisation et initiative et se fonder sur une difficulté objective concernant le savoir à construire. D'aucuns (notamment J. -P. Astolfi) parlent ici, en ce qui concerne précisément ce dernier trait, d'obstacle à l'apprentissage.

Evidemment, pour pouvoir effectuer cette analyse de manière pertinente, encore faut-il avoir une représentation claire des objectifs d'un cours de mathématique en première année des études d'ingénieur. Curieusement, ceux-ci ne sont que rarement explicites, lorsque l'on consulte les cahiers des charges de différents cours. Bien sûr, il y a l'acquisition d'un certain nombre de connaissances dont on ne peut faire l'économie. Mais on ne peut en rester là et, comme évoqué plus haut, un tel cours doit également permettre à l'étudiant de développer des compétences de plus haut niveau. Parmi celles-ci, citons la capacité de modéliser, c'est à dire de mettre en équations, sous la forme la plus appropriée, un problème issu du réel. Cela nécessite notamment d'être capable de formuler des hypothèses simplificatrices non explicitées dans l'énoncé, d'analyser le modèle mis en équations ainsi que la solution proposée afin de valider ces hypothèses. Une autre compétence visée est celle de pouvoir formuler un problème général (ou générique) au delà du problème proposé, pour que l'apprentissage ne se résume pas à celui de la résolution d'un cas particulier. Enfin, last but not least pour un cours de mathématique, un objectif extrêmement important mais bien souvent implicite d'un tel enseignement est l'apprentissage de la rigueur. Rigueur dans l'expression tant orale qu'écrite, rigueur dans le choix des moyens de démonstration d'une solution, rigueur dans la rédaction d'une démonstration, bien plus difficile à acquérir que la simple restitution d'une démonstration présentée par un enseignant !

Il n'est pas évident, mais pas nécessaire non plus, qu'un seul problème puisse concourir à faire acquérir ces différents objectifs. L'analyse a priori évoquée plus haut est donc d'autant plus indispensable puisque c'est grâce à elle que l'on pourra juger de l'équilibre d'un dispositif global comprenant de nombreux problèmes.

- Gaston : la fonction g est continue ; elle prend la valeur 1 au point 0 et elle satisfait aux deux conditions suivantes. (i) Si x est augmenté d'une unité alors g(x) est multiplié par deux. (ii) Si x est multiplié par m alors g(x) est élevé à la puissance m, et cela pour tout m ; Fanny répond : g (x)= 2x.

Vous avez prouvé l'existence et l'unicité d'un nombre réel négatif x0 tel que f(x0)=g(x0). Les règles de l'arithmétique montrent que x0 est irrationnel. Cependant, il existe des méthodes permettant de calculer x0 avec une grande précision. Pour appliquer ces méthodes numériques, on doit disposer d'une « approximation décente » de la solution recherchée.

La figure ci-dessus illustre schématiquement un four de verrerie. La matière à fondre (sable, chaux, ....) est enfournée à une extrémité, fondue grâce à la chaleur fournie par des brûleurs à gaz et le verre fondu sort du four (tirée) pour la suite du traitement (bouteilles, vitrages...). La qualité des produits requiert une température de verre aussi stable que possible. Pour contrôler cette température, on désire trouver un modèle de prédiction de la température future du verre en fonction des mesures présentes de température du verre et de température de voûte (qui est directement liée à l'énergie fournie par les brûleurs).